Skabelon til en god eksamensbesvarelse
Din besvarelse til hvert spørgsmål skal altid indeholde en konklusion, hvor du bruger ordene og sproget fra opgaveteksten — omformuleret til et svar, hvor du indsætter din løsning. Nedenunder viser du din beregning, graf eller dit argument, så censor kan følge med.
En hel sætning på dansk med ord fra opgaven og dit svar + enhed. Aldrig bare et tal alene.
Skriv formlen op først. Indsæt så tallene. Skriv mellemregninger. Slut af med resultatet og enheden.
Opgave: “Hvor stort er arealet af en cirkel med radius 4 cm?”
Arealet af cirklen med radius 4 cm er ca. 50,3 cm².
Jeg afrunder til én decimal: A ≈ 50,3 cm².
- ✅ Svaret er en hel sætning
- ✅ Enheden er med (cm, kr, %, …)
- ✅ Formlen er skrevet op før tallene
- ✅ Mellemregninger er synlige
- ✅ Afrunding er fornuftig (1–2 decimaler)
- ✅ Ord fra opgaveteksten er brugt
Tal & algebra
Talmængder, brøker, parenteser, potenser, procent og ligninger — fundamentet du bruger i alt.
Talmængder
Tal deles op i grupper efter hvilken slags tal de er:
- Naturlige tal: 1, 2, 3, 4, … — de tal man tæller med.
- Hele tal: … −2, −1, 0, 1, 2 … — naturlige tal + nul + de negative.
- Rationale tal: alle tal der kan skrives som en brøk — fx ½, −0,75, 3.
- Irrationale tal: tal der ikke kan skrives som brøk — fx √2, π.
Primtal & sammensatte tal
Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun går op i sig selv og 1. De første primtal er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …
Et sammensat tal kan skrives som et produkt af primtal — det kaldes primfaktoropløsning.
Intervaller
Et interval er et stykke af tallinjen mellem to tal. Du møder dem fx når du skal aflæse en graf eller angive hvilke x-værdier der gælder.
- Lukket: [2 ; 5] — endepunkterne er med (alle tal fra 2 til 5).
- Åbent: ]2 ; 5[ — endepunkterne er ikke med.
- Halvåbent: [2 ; 5[ — kun 2 er med.
Brøker
En brøk består af en tæller (øverst) og en nævner (nederst).
Plus & minus
Forskellige nævnere? Gang oppe og nede så begge brøker får samme nævner (b · d):
Gange & dividere
Dividerer du en brøk med et helt tal n, ganger du nævneren med n:
Forkorte & forlænge
Gang eller dividér både tæller og nævner med det samme tal — værdien ændres ikke.
Brøk → decimaltal
Regnerækkefølgen (regningsarternes hierarki)
Når du regner et udtryk ud, gør du tingene i denne rækkefølge — ellers får du et forkert svar:
- Parenteser ( )
- Potenser og rødder x², √x
- Gange og dividere ·, ÷
- Plus og minus +, −
Parentesregler & kvadratsætninger
Kvadratsætningerne:
Genveje til at gange parenteser ud uden at lave fortegnsfejl — fx (x + 3)².
Potenser & rødder
Regneregler:
Et tal i 0. potens er altid 1. En negativ potens betyder “én divideret med”.
Kvadratrod:
√a er det positive tal der ganget med sig selv giver a.
Procent
Procent betyder “pr. hundrede”. 5% = 5100 = 0,05
Vækstfaktor:
Tallet (1 + r/100) kaldes vækstfaktoren. Stigning på 15 % → faktor 1,15. Fald på 20 % → faktor 0,80.
Beregning: 300 · (1 − 0,20) = 300 · 0,80 = 240 kr
Procentstigning & procentfald
Hvor mange procent er en værdi steget eller faldet i forhold til startværdien?
Sæt altid slut − start i tælleren — så bliver fortegnet automatisk rigtigt. Positivt → stigning, negativt → fald.
Beregning: En vare gik fra 80 kr til 100 kr. 100 − 8080 · 100 % = 2080 · 100 % = 25 %
Beregning: En vare gik fra 500 kr til 400 kr. 400 − 500500 · 100 % = −100500 · 100 % = −20 %
Ligninger
Du må gøre det samme på begge sider af lighedstegnet.
Andengradsligning:
Diskriminanten (tallet under kvadratrodstegnet) d = b² − 4ac fortæller hvor mange løsninger ligningen har: d > 0 → 2 løsninger, d = 0 → 1 løsning, d < 0 → ingen løsninger.
Økonomi
Rente, valuta og moms — procenter brugt i hverdagen.
Rente & sammensat rente
Simpel rente: renten beregnes hvert år af det oprindelige beløb.
Sammensat rente (renters rente):
Renten lægges til kapitalen, så næste år giver renten også rente.
K₀ = startbeløb, r = rente som decimaltal (5 % = 0,05), n = antal år (eller andre “terminer” — bare hvor mange gange renten lægges på).
Beregning: K = 1000 · (1 + 0,03)⁵ ≈ 1.159,27 kr
Valutaomregning
Valutakursen viser, hvad 100 enheder af en udenlandsk valuta koster i danske kroner.
Beregning: Kurs på euro er 745. 745100 · 250 = 7,45 · 250 = 1862,50 kr
Moms
I Danmark er momsen 25%. Den lægges oven i prisen uden moms.
Geometri & måling
Trekanter, firkanter, cirkler, rumfang, Pythagoras og trigonometri.
Trekanter — typer & linjer
Vinklerne i en trekant lægger altid sammen til 180°.
Modstående betyder “overfor” — fx siden lige over for et hjørne. Det ord bruges meget i de næste afsnit.
- Ligesidet: alle sider lige lange, alle vinkler = 60°.
- Ligebenet: to sider lige lange, to lige store vinkler.
- Retvinklet: én vinkel er 90°.
- Spidsvinklet: alle vinkler under 90°.
- Stumpvinklet: én vinkel er over 90°.
Hjørner skrives med store bogstaver (A, B, C). Siden modstående et hjørne får samme bogstav i lille (a, b, c).
Linjer i trekanten:
- Højde (h): linje fra et hjørne vinkelret ned på den modstående side.
- Median: linje fra et hjørne til midten af den modstående side.
- Midtnormal: linje vinkelret på en side gennem dens midte.
- Vinkelhalveringslinje: deler en vinkel i to lige store dele.
Areal & omkreds
Rektangel
Trekant
g = grundlinje, h = højde
Parallelogram
Trapez
a, b = de to parallelle sider
Cirklen — areal og omkreds
Ensvinklede trekanter
To trekanter er ensvinklede, hvis de har de samme tre vinkler. Så er deres sider proportionale — der findes en fast skalafaktor k:
Skalafaktoren er k = 63 = 2 — den store er dobbelt så stor.
Pythagoras' sætning
I en retvinklet trekant gælder:
a og b er kateterne (de to korte sider om den rette vinkel), c er hypotenusen (den længste side, modstående den rette vinkel).
Pythagoras — prøv selv
a² + b² = c²Beregning: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5 cm
Trigonometri (retvinklet trekant)
For en spids vinkel v i en retvinklet trekant:
Hosliggende = den katete der støder op til vinklen v. Modstående = den der ligger overfor.
modstående = 10 · sin(30°) = 10 · 0,5 = 5 cm
Trigonometri — find den rigtige formel
I en retvinklet trekant kan du altid finde alt det ukendte, hvis du kender to oplysninger (fx to sider, eller en side og en spids vinkel). Brug skemaet nedenfor: find rækken med det du kender, og aflæs formlen i den kolonne der svarer til det du skal finde. Du behøver ikke flytte rundt på formlen — bare sæt tallene ind.
Find den rigtige formel
Find rækken med det du kender, og brug formlen i den kolonne der svarer til det du skal finde. Variablen er allerede isoleret.
| Du kender | Find a | Find b | Find c | Vinkler |
|---|---|---|---|---|
Side b og c | a = √(c² − b²) | — | — | ∠A = cos⁻¹(bc)∠B = 90° − ∠A |
Side a og c | — | b = √(c² − a²) | — | ∠A = sin⁻¹(ac)∠B = 90° − ∠A |
Side a og b | — | — | c = √(a² + b²) | ∠A = tan⁻¹(ab)∠B = 90° − ∠A |
Side c og ∠A | a = c · sin A | b = c · cos A | — | ∠B = 90° − ∠A |
Side c og ∠B | a = c · cos B | b = c · sin B | — | ∠A = 90° − ∠B |
Side a og ∠A | — | b = atan A | c = asin A | ∠B = 90° − ∠A |
Side a og ∠B | — | b = a · tan B | c = acos B | ∠A = 90° − ∠B |
Side b og ∠A | a = b · tan A | — | c = bcos A | ∠B = 90° − ∠A |
Side b og ∠B | a = btan B | — | c = bsin B | ∠A = 90° − ∠B |
- Find a
- a = √(c² − b²)
- Vinkler
- ∠A = cos⁻¹(bc)∠B = 90° − ∠A
- Find b
- b = √(c² − a²)
- Vinkler
- ∠A = sin⁻¹(ac)∠B = 90° − ∠A
- Find c
- c = √(a² + b²)
- Vinkler
- ∠A = tan⁻¹(ab)∠B = 90° − ∠A
- Find a
- a = c · sin A
- Find b
- b = c · cos A
- Vinkler
- ∠B = 90° − ∠A
- Find a
- a = c · cos B
- Find b
- b = c · sin B
- Vinkler
- ∠A = 90° − ∠B
- Find b
- b = atan A
- Find c
- c = asin A
- Vinkler
- ∠B = 90° − ∠A
- Find b
- b = a · tan B
- Find c
- c = acos B
- Vinkler
- ∠A = 90° − ∠B
- Find a
- a = b · tan A
- Find c
- c = bcos A
- Vinkler
- ∠B = 90° − ∠A
- Find a
- a = btan B
- Find c
- c = bsin B
- Vinkler
- ∠A = 90° − ∠B
Prøv selv — interaktiv trekant:
Skift mellem at indtaste to sider eller en side og en vinkel. Tegningen og beregningen opdaterer sig med det samme — også offline.
Interaktiv retvinklet trekant
- Find cc = √(a² + b²) = √(4² + 3²) ≈ 5
- Find ∠Atan A = a/b → ∠A = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.1°
- Find ∠B∠B = 90° − ∠A ≈ 36.9°
Beregning: Du kender side a = 5 og ∠A = 35°. Slå op i skemaet under "Side a og ∠A": c = asin A = 5sin(35°) ≈ 8,72 cm.
Firkanter
Vinklerne i en firkant lægger altid sammen til 360°.
- Kvadrat: 4 lige lange sider, 4 rette vinkler.
- Rektangel: 4 rette vinkler, modstående sider lige lange.
- Parallelogram: modstående sider parallelle og lige lange.
- Romb: 4 lige lange sider (skæv firkant).
- Trapez: mindst ét par parallelle sider.
Cirkler — fagord
- Centrum (C): midtpunktet af cirklen.
- Radius (r): afstand fra centrum til cirkelranden.
- Diameter (d): linje gennem centrum mellem to punkter på cirklen. d = 2r
- Periferi: selve cirkelranden.
- Korde: linjestykke mellem to punkter på cirklen.
- Tangent: linje der lige akkurat rører cirklen i ét punkt.
Rumfang & overflade
Kasse
Prisme
Cylinder
Kegle
Pyramide
Kugle
G = grundfladens areal (den side figuren “står på” — fx bunden af en kasse eller cirklen i bunden af en cylinder), h = højde, r = radius.
Beregning: r = 4 cm, h = 5 cm. V = π · 4² · 5 = π · 80 ≈ 251,33 cm³
Flytninger
- Spejling: figuren vendes om en spejlingsakse — som i et spejl. Afstanden til aksen er den samme på begge sider.
- Parallelforskydning: hele figuren flyttes samme stykke i samme retning. Form og størrelse er uændret.
- Drejning: figuren drejes om et punkt (drejningspunktet) med en vinkel. Form og størrelse er uændret.
Målestoksforhold
Skrives som 1 : n. Det betyder at 1 cm på tegningen svarer til n cm i virkeligheden.
I virkeligheden: 4 cm · 50.000 = 200.000 cm = 2 km.
Funktioner
Lineære funktioner, proportionalitet, vækst og andengradsfunktioner.
Lineær funktion
a = hældningskoefficienten — også bare kaldet “hældningen” (hvor meget y stiger når x stiger med 1, dvs. hvor stejl linjen er).
b = skæring med y-aksen (hvor grafen krydser y-aksen).
Lineær funktion
y = 1x + 2a = 9 − 34 − 1 = 2, og b = 1 → y = 2x + 1
Proportionalitet
Ligefrem proportionalitet:
Når x bliver dobbelt så stor, bliver y også dobbelt så stor. Grafen er en ret linje gennem (0, 0).
Omvendt proportionalitet:
Når x bliver dobbelt så stor, bliver y halvt så stor. Grafen er en hyperbel.
k = 3 · 4 = 12 → y = 126 = 2 timer
Lineær & eksponentiel vækst
Lineær vækst:
Der lægges det samme tal til hver gang.
Eksponentiel vækst:
Der ganges med den samme faktor hver gang (fremskrivningsfaktoren a — det er det samme som vækstfaktoren ovre under procent).
a > 1 → vækst (stiger). 0 < a < 1 → aftagende.
y = 100 · 2⁵ = 100 · 32 = 3.200 bakterier
Andengradsfunktion
Grafen kaldes en parabel.
- a > 0 → parablen vender opad (smiler 🙂).
- a < 0 → parablen vender nedad (sur ☹).
- c er parablens skæring med y-aksen.
Nulpunkter (skæring med x-aksen):
Toppunkt:
Statistik & sandsynlighed
Beskriv data med tal og diagrammer, og bestem chancer.
Deskriptiv statistik (tal der beskriver dine data)
Mål du bruger til at beskrive et sæt observationer (dvs. dine tal/data):
Middeltal (gennemsnit):
- Median: det midterste tal når data er sorteret. Ved lige antal: gennemsnit af de to midterste.
- Typetal: det tal der forekommer flest gange.
- Variationsbredde: største − mindste observation.
- Kvartiler: Q1 (nedre kvartil), Q2 (median), Q3 (øvre kvartil). Bruges i boksplot.
- Kvartilbredde: Q3 − Q1.
- Hyppighed: hvor mange gange en observation forekommer.
- Frekvens: hyppighed / total — som procent.
- Summeret frekvens: løbende sum af frekvenser (bruges i sumkurven).
Hyppighedstabel — eksempel
Karakterer i en lille klasse: 4, 7, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 7, 4 (n = 10)
| Karakter | Hyppighed | Frekvens | Sum. frekvens |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 20 % | 20 % |
| 7 | 3 | 30 % | 50 % |
| 10 | 3 | 30 % | 80 % |
| 12 | 2 | 20 % | 100 % |
| I alt | 10 | 100 % | — |
Frekvens = hyppighed / n · 100 %. Sum. frekvens = læg frekvenserne sammen ovenfra og ned.
Find tallene i Google Sheets (dansk)
Antag at data ligger i kolonne A2:A11:
| Du vil finde | Formel |
|---|---|
| Middeltal | =MIDDEL(A2:A11) |
| Median | =MEDIAN(A2:A11) |
| Typetal | =HYPPIGST(A2:A11) |
| Største / mindste | =MAKS(A2:A11) / =MIN(A2:A11) |
| Variationsbredde | =MAKS(A2:A11) - MIN(A2:A11) |
| Nedre kvartil (Q1) | =KVARTIL(A2:A11; 1) |
| Øvre kvartil (Q3) | =KVARTIL(A2:A11; 3) |
| Antal observationer | =TÆL(A2:A11) |
| Sum | =SUM(A2:A11) |
| Hyppighed af tallet 7 | =TÆL.HVIS(A2:A11; 7) |
Diagrammer — hvornår bruges hvad?
Pindediagram
Enkeltobservationer — fx antal øjne ved terningekast.
Søjlediagram
Sammenlign kategorier — fx favoritfag i klassen.
Cirkeldiagram
Hvordan en helhed er fordelt i procenter (360° = 100 %).
Trappediagram
Grupperede observationer — hyppighed i hvert interval.
Sumkurve
Bruger summeret frekvens — aflæs median og kvartiler.
Boksplot
Min, Q1, median, Q3, max på én streg. God til sammenligning.
GBoksplot i GeoGebra (trin for trin)
- Skriv eller kopier dine tal i Google Sheets / Excel.
- Marker tallene og kopier dem (Ctrl + C).
- Åbn GeoGebra → vis Regneark (Ctrl + Shift + S) → indsæt i kolonne A.
- Marker hele kolonnen → højreklik → Én variabel-analyse.
- I dropdown'en øverst i analysevinduet vælges Boksplot.
- Aflæs min, Q1, median, Q3, max direkte under figuren.
- Klik på Σ-symbolet øverst i analysevinduet for at se middelværdi, median, kvartiler, standardafvigelse m.m. som tal.
Sandsynlighed
Sandsynligheden ligger altid mellem 0 og 1 (0 % – 100 %).
Statistisk sandsynlighed:
Bestemmes ved at gentage et eksperiment mange gange og se hvor stor en del af gangene hændelsen sker.
Enten-eller-princippet — når begge ikke kan ske samtidig
Når en hændelse kan ske på flere måder der ikke kan ske samtidig, kan du splitte den op og lægge sandsynlighederne sammen.
Eksempel: Hvad er sandsynligheden for at slå mere end 3 med en almindelig terning?
- P(slå mere end 3)← Det vi vil finde
- = P(4 eller 5 eller 6)← Omskriv hændelsen — hvilke tal opfylder den?
- = P(4) + P(5) + P(6)← Enten-eller-princippet — læg sammen
- = 1⁄6 + 1⁄6 + 1⁄6← Hver side har sandsynlighed 1⁄6
- = 3⁄6 = 1⁄2 = 50 %← Reducer brøken
OBS: Virker kun når hændelserne ikke kan ske samtidig(du kan ikke slå både 4 og 5 i samme kast).
Både-og-princippet — uafhængige hændelser
Beregning: P = 1/6 · 1/6 = 1/36
Hastighed
Sammenhængen mellem strækning, tid og hastighed — bruges ofte i tværfaglige opgaver.
Hastighed (fart)
v = hastighed (også kaldet fart), s = strækning, t = tid.
Isoleret for de andre variable:
Beregning: Hun kører 30 km på 1,5 timer. v = 30 / 1,5 = 20 km/t
Måleenheder
Husk at omregne — og altid skrive enheden i dit svar.
Omregning af enheder
Længde
1 km = 1.000 m
1 m = 100 cm = 1.000 mm
1 cm = 10 mm
Areal
1 m² = 10.000 cm²
1 km² = 1.000.000 m²
1 ha = 10.000 m²
Rumfang
1 L = 1 dm³ = 1.000 cm³
1 m³ = 1.000 L
1 cL = 10 mL
Vægt
1 t = 1.000 kg
1 kg = 1.000 g
1 g = 1.000 mg
Ofte stillede spørgsmål om matematikprøven
Korte svar på de spørgsmål elever oftest stiller om FP9, formelsamling og forberedelse.
Hvilke formler skal jeg kunne til 9. klasses matematikprøve?+
Til FP9 skal du kunne formler for areal, omkreds, rumfang, Pythagoras' sætning, trigonometri (sin, cos, tan), procentregning, ligninger, lineære funktioner og statistik. Alle er samlet her i Matformler.
Må jeg bruge formelsamling til FP9?+
Ja. Til den skriftlige prøve med hjælpemidler må du bruge en formelsamling. Matformler er gratis og kan både bruges online og printes ud før prøven.
Hvordan forbereder jeg mig bedst til matematikeksamen i 9. klasse?+
Øv dig på gamle prøvesæt, kend de vigtigste formler udenad, og brug en formelsamling som Matformler til at slå op. Husk altid at skrive formlen op først, så indsætte tallene og slutte med en konklusion med enhed.
Hvad er forskellen på FP9 og FP10?+
FP9 er folkeskolens prøve efter 9. klasse og er obligatorisk. FP10 er den tilsvarende prøve efter 10. klasse. Formlerne er stort set de samme, men FP10 går lidt dybere i fx funktioner og trigonometri.
Kan jeg printe formelsamlingen?+
Ja. Brug 'Download'-knappen øverst på siden for at hente en standalone HTML-fil, eller print direkte fra browseren med Ctrl+P / Cmd+P.